问题
解答题
已知抛物线y=
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式； （3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． |
答案
（1）∵y=
ax2+ax+t的对称轴为x=-21 4
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：（-3，0）
（2）∵D为抛物线与y轴相交
∴D的纵坐标为t
∵CD∥AB
∴C的纵坐标也为t
∵梯形ABCD的高为t
∴S梯形ABCD=9
∴
=9(CD+2)•t 2
∴CD=18-2t t
∴点C的坐标为（
，t）2t-18 t
∴
（1 4
)22+2t-18 t
+t=t2t-18 t
整理得：（2t-18）（6t-18）=0
∴t1=3，t2=9
∴a1=4，a2=12
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3或y=3x2+12x+9
（3）当点E在抛物线y=x2+4x+3时
设E点的横坐标为-2m，则E的纵坐标为5m
把（-2m，5m）代入抛物线得：5m=（-2m）2+4×（-2m）+3
解得；m1=3，m2=1 4
∴E的坐标为（-6，15）（舍去）或（-
，1 2
）5 4
∴点E关于x=-2对称的点E′的坐标为（-
，7 2
）5 4
∴直线AE′的解析式为y=-
x-1 2 1 2
∴P的坐标为（-2，
）1 2