（1）′由f′()=0，得a=b． …（1分）
故f（x）=ax3-2ax2+ax+c．
由f′（x）=a（3x2-4x+1）=0，得x1=，x2=1．…（2分）列表：
| x | （-∞，） | | （，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，
）及（1，+∞）．…（4分）
（2）f′（x）=3ax2-2（a+b）x+b=3a(x-)2-．
①当≥1，或≤0时，则f′（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（8分）
②当0＜＜1，即-a＜b＜2a，则-≤f′（x）≤max{f′（0），f′（1）}．
（i） 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．
所以 f′（1）-==≥a2＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}． …（12分）
（ii） 当＜b＜2a时，则(b-)(b-2a)＜0，即a2+b2-ab＜0．
所以b-=＞＞0，即f′（0）＞．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．
综上所述：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（16分）
