问题
解答题
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1)和点B(3,-9),而且点C(m,m)、D(4-m,m)均在图象上,其中m≠2.
(1)求该二次函数的解析式以及实数m的值;
(2)如果动点P位于抛物线上的弧AB与线段AB所围成的区域(不包括边界)内,自点P作与x轴垂直的直线l,l分别与直线AB、抛物线相交于点M、N(M在N的上方),试求线段MN长的最大值.
答案
(1)将A(-1,-1)、B(3,-9)代入y=ax2+bx+c,
得到
,-1=a-b+c -9=9a+3b+c
两式相减得到:2a+b=-2,
再将C(m,m)、D(4-m,m)代入,
得到:
,m=am2+bm+c m=a(4-m)2+b(4-m)+c=0
两式相减,得到:16a+4b-8am-2bm=0,
整理得到:(4a+b)(4-2m)=0
因为m≠2,所以4a+b=0,与2a+b=-2联立,
得到a=1,b=-4,
那么c=-6,m=6
所以该二次函数解析式为y=x2-4x-6,m=6或-1;
(2)设经过A(-1,-1)和点B(3,-9)的一次函数解析式为y=kx+b,
将两点坐标代入,得到
,-1=-k+b -9=3k+b
解得k=-2,b=-3,
一次函数解析式为y=-2x-3
设点P(x,y),则M(x,-2x-3),N(x,x2-4x-6),
那么MN=(-2x-3)-(x2-4x-6)=-x2+2x+3,这里-1<x<3,
由于MN=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
所以当x=1时,线段MN长取得最大值4.