问题
解答题
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
（1）可设y=a（x-4）2-1，（2分）
∵交y轴于点C（0，3），
∴3=16a-1，（3分）
∴a=
，1 4
∴抛物线的解析式为y=
（x-4）2-1，1 4
即∴y=
x2-2x+3．（4分）1 4
（2）存在．（5分）
当y=0，则
（x-4）2-1=0，1 4
∴x1=2，x2=6，（6分）
∴A（2，0），B（6，0），
设P（0，m），则OP=|m|在△AOC与△BOP中，
①若∠OCA=∠OBP，则△BOP∽△COA，
∴
=OB OC
，OP=OP OA
=4，6×2 3
∴m=±4；（7分）
②若∠OCA=∠OPB，则△BOP∽△AOC，
∴
=OP OC
，OP=OB OA
=9，6×3 2
∴m=±9，（7分）
∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．（10分）