（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．

f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

．

由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）

即

1 2 x 20 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，

解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），

b=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）

（2）b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）．

令b'（a）=0，则a=e

1

3

，当a变化时，b'（a）及b（a）的变化情况如下表：

所以，a=e

1

3

时，b（a）有最大值

3

2

e

2

3

．

（3）h（x）=

1

2

x²+3a²lnx-6x，h′（x）=x+

3a2

x

-6

要使h（x）在（0，4）上单调，

须h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立．

h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0在（0，4）上恒成立

⇔3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立．

而-x²+6x＞0，且-x²+6x可为足够小的正数，必有a=0

或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立

⇔3a²≥（-x²+6x）_max=9，得a≥

3

或a≤-

3

．

综上，所求a的取值范围为a≥

3

或a≤-

3

或a=0．