（Ⅰ）证明：在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ

两边对x求导得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1

移项得n[(1+x)n-1-1]=2

C

2n

x+3

C

3n

x2+4

C

4n

x3+…+n

C

nn

xn-1；

（Ⅱ）当整数n≥3时，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，令x=-1，可得

C

1n

-2

C

2n

+3

C

3n

-…+(-1)n-1n

C

nn

=（-1）^n-1n；

（Ⅲ）证明：当整数n≥3时，∵n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，

求导函数，可得（n-1）n（1+x）^n-2=+2C_n²+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2，

令x=-1，可得2

C

2n

-3•2

C

3n

+4•3

C

4n

+…+(-1)n-2n(n-1)

C

nn

=0．