问题
填空题
在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是______．
答案
三棱锥的侧面展开图，如图，
△ADE的周长的最小值为AA1，
在△PAB中，sin
∠APB=1 2
=2 8
，∴cos∠APB=1-2sin21 4
∠APB=1 2
，7 8
在△APA1中，∴sin
∠APA1=sin（∠APB+1 2
∠APB）=sin∠APBcos1 2
∠APB+cos∠APBsin1 2
∠APB=1 2
×15 8
+15 4
×7 8
=1 4
，11 16
所以AA1=2PA×sin
∠APA1=11，1 2
故答案为：11．