问题
解答题
对于一般的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a≠0）定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导数．若f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，现已知：g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），请解答下列问题：
（Ⅰ）．若y=g（x）是R上的增函数，求证a=b=c；
（Ⅱ）在（Ⅰ）．的条件下，求函数y=g（x）的“拐点”A的坐标，并证明函数y=g（x）的图象关于“拐点”A成中心对称．
答案
（I）∵g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），
∴g'（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）
=3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ac，
∵y=g（x）是R上的增函数，
∴g'（x）=3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4（a+b+c）2-12（ab+bc+ac）≤0
则2a2+2b2+2c2-2（ab+bc+ac）≤0即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≤0
∴a=b=c；
（II）由（I）得y=g（x）=（x-a）3
g'（x）=3（x-a）2，g''（x）=6（x-a）=0
解得x=a
∴函数y=g（x）的“拐点”A的坐标为（a，0）
设函数y=g（x）图象上任意一点（x，y）则关于（a，0）的对称点为（2a-x，-y）
根据g（2a-x）=（a-x）3=-g（x）可知点（2a-x，-y）也在函数y=g（x）图象上
∴函数y=g（x）的图象关于“拐点”A（a，0）成中心对称．