问题
解答题
设函数f（x）=（x+1）2-2klnx．
（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；
（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．
答案
解（1）k=2，f（x）=（x+1）2-4lnx．
则f′（x）=2x+2-
=4 x
(x-1)(x+2)＞0，（此处用“≥”同样给分）2 x
注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为（1，+∞）．（写为[1，+∞）同样给分）
（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=2x+2-
．2k x
g（x）=2(x+
)+2≥4-k x
+2，当且仅当x=-k
时，上述“≥”中取“=”．-k
①若
∈（0，2]，即当k∈[-4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为4-k
+2；-k
②若k＜-4，则g′(x)=2(1+
)在（0，2]上为负恒成立，故g（x）在区间（0，2]上为减函数，k x2
，于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6-k．
综上所述，当k∈[-4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为4
+2；-k
当k＜-4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6-k．