①与AD₁成60°角的面对角线的条数是8条，由图形中可以看出除了其所在面以及平行的两个面外的四个表面中每个面的两条面对角线都与与AD₁成60°角，恰有8条，故命题正确；

②直线AA₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

，取底面ABCD中点O，可证得∠AA₁O即是线AA₁与平面A₁BD所成角，求得线面角的余弦值为

6

3

，故此命题不对；

③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥，由图形的结构知，以8个顶点为顶点，以此点出发的三条侧棱为侧棱可以 组成8个正三棱锥，由面对角线可以组成两个正四面体，共可以组成10个正三棱锥，故命题正确；

④点A₁到直线BC₁的距离是

6

3

，由于A₁B₁⊥侧面B₁C，且侧面是正方形，连接B₁C与BC₁交于一点M，由正方形的性质知，此两直线垂直，连接A₁M其长度即为所求点A₁到直线BC₁的距离，利用勾股定理解得，其长度是

6

2

，故命题不正确．

综上知①③正确

故答案为：①③．