问题
解答题
设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]2
（Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）求g（x）的单调递增区间．
答案
（1）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）2=cos2x+sin2x+1=
sin(2x+2
)+1．π 4
∴T=
=π．2π 2
当2x+
=π 4
+2kπ，即x=kπ+π 2
（k∈Z）时，sin(2x+π 8
)取得最大值1，π 4
此时，函数g（x）取得最大值
+1．2
（2）由-
+2kπ≤2x+π 2
≤π 4
+2kπ 解得-π 2
+kπ≤x≤3π 8
+kπ(k∈Z)，π 8
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+3π 8
]（k∈Z）．π 8