问题
解答题
| 已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数． （1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2的最大值和最小正周期； （2）若f（x）=2f'（x），求
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答案
（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=
sin(2x+2
)+1π 4
当2x+
=2kπ+π 4
⇒x=kπ+π 2
(k∈Z)时，[F(x)]max=π 8
+12
最小正周期为T=
=π2π 2
（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=1 3
∴
=1+sin2x cox2x-sinxcosx
=2sin2x+cos2x cos2x-sinxcosx
=2tan2x+1 1-tanx
；11 6
答：（1）函数F（x）的最大值为
+1，最小正周期为π；2
（2）
的值为1+sin2x cos2x-sinxcosx
．11 6