问题 解答题
已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;
(2)若f(x)=2f'(x),求
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
的值.
答案

(1)已知函数f(x)=sinx+cosx,则f′(x)=cosx-sinx.

代入F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2

易得

F(x)=cos2x+sin2x+1=

2
sin(2x+
π
4
)+1

2x+

π
4
=2kπ+
π
2
⇒x=kπ+
π
8
(k∈Z)时,[F(x)]max=
2
+1

最小正周期为T=

2

(2)由f(x)=2f'(x),易得sinx+cosx=2cosx-2sinx.

解得tanx=

1
3

1+sin2x
cox2x-sinxcosx
=
2sin2x+cos2x
cos2x-sinxcosx
=
2tan2x+1
1-tanx
=
11
6

答:(1)函数F(x)的最大值为

2
+1,最小正周期为π;

(2)

1+sin2x
cos2x-sinxcosx
的值为
11
6

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