问题
解答题
已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数. (1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期; (2)若f(x)=2f'(x),求
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答案
(1)已知函数f(x)=sinx+cosx,则f′(x)=cosx-sinx.
代入F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=
sin(2x+2
)+1π 4
当2x+
=2kπ+π 4
⇒x=kπ+π 2
(k∈Z)时,[F(x)]max=π 8
+12
最小正周期为T=
=π2π 2
(2)由f(x)=2f'(x),易得sinx+cosx=2cosx-2sinx.
解得tanx=1 3
∴
=1+sin2x cox2x-sinxcosx
=2sin2x+cos2x cos2x-sinxcosx
=2tan2x+1 1-tanx
;11 6
答:(1)函数F(x)的最大值为
+1,最小正周期为π;2
(2)
的值为1+sin2x cos2x-sinxcosx
.11 6