问题
解答题
已知：a，b，c是△ABC的三边长，c为整数，抛物线y=x2-（a+b）x+c2-8a-8与x轴相交于点M，N（点M在N的左侧），顶点为P，点（a-bsinC，m）与点（asinC-b，m）关于y轴对称．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若抛物线与直线y=x-14相交于点P和D（6，-8），在抛物线上求作一点Q，使∠QMP=90°．
答案
（1）∵点（a-bsinC，m）与点（asinC-b，m）关于y轴对称，
∴a-bsinC+asinC-b=（a-b）+（a-b）sinC=（a-b）（sinC+1）=0；
∵0°＜∠C＜180°，即sinC+1≠0，
∴a=b；即△ABC是等腰三角形．
（2）由（1）知：a=b，则y=x2-2ax+c2-8a-8，P（a，c2-a2-8a-8）；
∵P点在直线y=x-14的图象上，
∴a-14=c2-a2-8a-8；①
∵抛物线过D（6，-8），
∴36-12a+c2-8a-8=-8；②
联立①②，得：
，a-14=c2-a2-8a-8 36-12a+c2-8a-8=-8
解得
（c取整数）；a=5 c=8
∴抛物线的解析式为y=x2-10x+16，P（5，-9），M（2，0），N（8，0）；
设直线MP的解析式为y=kx+b（k≠0），则：
，5k+b=-9 2k+b=0
解得
；k=-3 b=6
∴直线MP的解析式为y=-3x+6；
设直线MQ的解析式为y=mx+n（m≠0），由于∠PMQ=90°，
得mk=-1，即m=
；1 3
则y=
x+n；已知M点坐标为（2，0），则有：1 3
+n=0，n=-2 3
；2 3
∴直线MQ的解析式为y=
x-1 3
；2 3
联立抛物线的解析式，得：
，y=
x-1 3 2 3 y=x2-10x+16
解得
，x=2 y=0
；x= 25 3 y= 19 9
∴Q点的坐标为（
，25 3
）．19 9