问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α、β．
（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；
（2）若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．
答案
（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，
α=
，β=-3+ 9-4ab 2a
．-3- 9-4ab 2a
∵|α-β|=1，
∴
=|a|，9-4ab
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=
，x1+x2=-b a
．4 a
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
-b a
+1．4 a
-b a
+1-7=4 a
，b-4-6a a
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．
当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．
当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．