（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=

2

a，

∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．

即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．

（2）连接BD，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥AC

∵PD∩BD=D

∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB

∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°

（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE

∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB

∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角

∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB

∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB=

PD2+BD2

=

3

a，

在Rt△PAB中，

∵S=

1

2

PA•AB=

1

2

•PB•AE

∴AE=

PA•AB

PB

=

2 a•a

3 a

=

2

3

a，AO=

1

2

AC=

2

2

a

在Rt△AOE中，sin∠AEO=

AO

AE

=

3

2

，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60．

（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，

设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为RVP-ABCD=

1

3

•S♢ABCD•PD=

1

3

•a•a•a=

1

3

a3S△PAD=S△PDC=

1

2

•a•a=

1

2

a2

S△PAB=S△PBC=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2

S_♢ABCD=a²

∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC

1

3

a3=

1

3

R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S♢ABCD)

1

3

a3=

1

3

R(

1

2

a2+

1

2

a2+

2

2

a2+

2

2

a2+a2)

∴

R

3

(2+

2

)a2=

1

3

a3∴R=

a

2+ 2

=

2- 2

2

a=(1-

2

2

)a

∴球的最大半径为（1-

2

2

a）

（5）设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD

在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC

∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心

则FP为外接球的半径∵FP=

1

2

PB∴FP=

3

2

a

∴四棱锥外接球的半径为

3

2

a