问题
解答题
函数f（x）=x4-2ax2，g（x）=1．
（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；
（2）当x∈（0，1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．
答案
（1）设h（x）=f（x）-g（x）
即证函数h（x）与x轴有交点，
即证方程x4-2ax2-1=0有实根，设t=x2
即证方程t2-2at-1=0有非负实数根，
而△=4a2+4＞0，t1t2=-1＜0
∴方程t4-2at-1=0恒有正根
∴f（x）与g（x）图象恒有公共点（4分）
（2）f′（x）=4x3-4ax
∵当0＜x≤1时4xa＞4x3-1恒成立
即a＞x2-
，设y=x2-1 4x
，1 4x
则y′=2x+
＞0，1 4x2
∴y=x2-
在（0，1]上单调递增，1 4x
∴a＞1-
=1 4 3 4
∴a的取值范围为(
，+∞)（8分）3 4
（3）由题设知当x∈[0，1]时，|4x3-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x3-4ax
若a≤0则F（1）=4（1-a）≥4不满足条件
故a＞0而F′(x)=12x2-4a=12(x-
)(x+a 3
)a 3
①当
＜1时，即0＜a＜3时，F（x）在[0，a 3
]上递减，在[a 3
]上递增，
，1a 3
于是F(x)min=F(
)a 3 F(x)max=max{F(0)，F(1)}=max{0，4-4a}
∴
，∴F(
)≥-1a 3 4-4a≤1
，∴a=a≤ 3 4 a≥ 3 4 3 4
②当
≥1时，即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，a 3
于是
矛盾F(x)min=F(1)=4-4a≥-1⇒a≤ 5 4 F(x)max=F(0)=0≤1
综上所述：a=
（14分）3 4