由题意，此问题的实质是以A为球心、

2 3

3

为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=

3

3

，故各段弧圆心角为

π

2

．∴这条曲线长度为3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3

6

π

故答案为

5 3

6

π