问题
解答题
已知抛物线y=
(1)求k的取值范围; (2)设抛物线与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,点D是抛物线的顶点,如果△ABD是等腰直角三角形,求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,抛物线与y轴交于点C,点E在y轴的正半轴上,且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似,求点E的坐标. |
答案
(1)根据题意得:△=1-2k>0,
∴k<
,1 2
∴k的取值范围是k<
.1 2
(2)设A(x1,0)、B(x2,0),则x1+x2=2,x1x2=2k.
∴AB=|x1-x2|=
=2(x1+x2)2-4x1x2
,1-2k
由y=
x2-x+k=1 2
(x-1)2+k-1 2
得顶点D(1,k-1 2
),1 2
当△ABD是等腰直角三角形时得;|k-
|=2×1 2 1 2
,1-2k
解得k1=-
,k2=3 2
,1 2
∵k<
,1 2
∴k=
舍去,1 2
∴所求抛物线的解析式是y=
x2-x-1 2
.3 2
(3)设E(0,y),则y>0,
令y=0得
x2-x-1 2
=0,3 2
∴x1=-1,x2=3,∴A(-1,0)、B(3,0),令x=0得:y=-
,3 2
∴C(0,-
),3 2
(i)当△AOE∽△BOC时得:
=AO BO
,∴OE OC
=1 3
,解得y=y 3 2
,1 2
∴E1(0,
);1 2
(ii)当△AOE∽△COB时得:
=AO OC
,∴OE BO
=1 3 2
,解得y=2,y 3
∴E2(0,2),
∴当△AOE和△BOC相似时,E1(0,
)或E2(0,2).1 2