问题
解答题
已知抛物线y=
（1）求k的取值范围； （2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标． |
答案
（1）根据题意得：△=1-2k＞0，
∴k＜
，1 2
∴k的取值范围是k＜
．1 2
（2）设A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2=2，x1x2=2k．
∴AB=|x1-x2|=
=2(x1+x2)2-4x1x2
，1-2k
由y=
x2-x+k=1 2
（x-1）2+k-1 2
得顶点D（1，k-1 2
），1 2
当△ABD是等腰直角三角形时得；|k-
|=2×1 2 1 2
，1-2k
解得k1=-
，k2=3 2
，1 2
∵k＜
，1 2
∴k=
舍去，1 2
∴所求抛物线的解析式是y=
x2-x-1 2
．3 2
（3）设E（0，y），则y＞0，
令y=0得
x2-x-1 2
=0，3 2
∴x1=-1，x2=3，∴A（-1，0）、B（3，0），令x=0得：y=-
，3 2
∴C（0，-
），3 2
（i）当△AOE∽△BOC时得：
=AO BO
，∴OE OC
=1 3
，解得y=y 3 2
，1 2
∴E1（0，
）；1 2
（ii）当△AOE∽△COB时得：
=AO OC
，∴OE BO
=1 3 2
，解得y=2，y 3
∴E2（0，2），
∴当△AOE和△BOC相似时，E1（0，
）或E2（0，2）．1 2