问题 解答题
已知抛物线y=
1
2
x2-x+k与x轴有两个交点.
(1)求k的取值范围;
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,点D是抛物线的顶点,如果△ABD是等腰直角三角形,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线与y轴交于点C,点E在y轴的正半轴上,且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似,求点E的坐标.
答案

(1)根据题意得:△=1-2k>0,

∴k<

1
2

∴k的取值范围是k<

1
2

(2)设A(x1,0)、B(x2,0),则x1+x2=2,x1x2=2k.

∴AB=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2
=2
1-2k

由y=

1
2
x2-x+k=
1
2
(x-1)2+k-
1
2
得顶点D(1,k-
1
2
),

当△ABD是等腰直角三角形时得;|k-

1
2
|=2×
1
2
1-2k

解得k1=-

3
2
,k2=
1
2

∵k<

1
2

∴k=

1
2
舍去,

∴所求抛物线的解析式是y=

1
2
x2-x-
3
2

(3)设E(0,y),则y>0,

令y=0得

1
2
x2-x-
3
2
=0,

∴x1=-1,x2=3,∴A(-1,0)、B(3,0),令x=0得:y=-

3
2

∴C(0,-

3
2
),

(i)当△AOE△BOC时得:

AO
BO
=
OE
OC
,∴
1
3
=
y
3
2
,解得y=
1
2

∴E1(0,

1
2
);

(ii)当△AOE△COB时得:

AO
OC
=
OE
BO
,∴
1
3
2
=
y
3
,解得y=2,

∴E2(0,2),

∴当△AOE和△BOC相似时,E1(0,

1
2
)或E2(0,2).

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