问题
解答题
| 已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数． （1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）若f（x）=2f′（x），求
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答案
（1）因为f（x）=sinx+cosx，所以f'（x）=cosx-sinx，
所以F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=cos2x+1+sin2x=
sin(2x+2
)+1，π 4
所以T=π；
由2x+
∈[2kπ-π 4
，2kπ+π 2
](k∈Z)，得x∈[kπ-π 2
π，kπ+3 8
]（k∈Z）π 8
单调递增区间为[kπ-
π，kπ+3 8
]（k∈Z）．π 8
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx=1 3
所以
=1+sin2x cos2x-sinxcosx
=2sin2x+cos2x cos2x-sinxcosx
=2tan2x+1 1-tanx
．11 6