问题
解答题
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（x2，0）和B（x1，0）两点，A点在原点左方，B点在原点右方，与y轴交于C（0，y1），且知C点在原点上方，y1＞x1，BC=10，x1，y1是方程x2-（k+9）x+3（k+11）=0的两根，直线y=mx+n过A、C两点，且tan∠CAB=4．
（1）求：A、B、C三点的坐标；
（2）求：过A、C两点的一次函数的解析式；
（3）求：过A、B、C三点的二次函数的解析式．
答案
（1）∵x1，y1是原方程的两根，
∴
，x1+y1=k+9 x1•y1=3(k+11)
又∵BC=10，
∴x12+y12=102
即：（x1+y1）2-2x1y1=100，
∴（k+9）2-2×3（k+11）=100
即：k2+12k-85=0
∴k1=5，k2=-17
当k=5时，∴
，x1+y1=14 x1•y1=48
解得：
或x1=6 y1=8 x1=8 y1=6
但∵y1＞x1
∴取x1=6 y1=8
当k=-17时，x1+y1=-17+9＜0
当∵x1＞0，y1＞0
∴此时无解．
故：B（6，0），C（0，8），
∵tan∠CAB=4，即
=4，y1 |x2|
∴|x2|=2⇒x2=-2或2
但∵x2＜0，
∴只取x2=-2
故：A（-2，0）．
（2）∵直线y=mx+n过A、C两点
∴
，0=-2m+n 8=n
解得：m=4 b=8
故；过A、C两点的一次函数的解析式为：y=4x+8．
（3）∵A（-2，0），B（6，0）两点在此二次函数上，
∴可设此函数为：y=a（x+2）（x-6）
又∵C（0，8）在此二次函数上，
∴8=a（0+2）（0-6）⇒a=-2 3
∴可设此函数为：y=-
（x+2）（x-6）2 3
即：y=-
x2+2 3
x+8 3
．24 3