问题 解答题

“百诚”公司投资750万元,成功研制出一种市场需求量较大的产品,并再投入资金1750万元进行相关生产设备的购买.已知生产过程中,每件产品的成本为60元.在销售过程中发现,当销售单价定为120元时,年销售量为24万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)(x>120),年销售量为y(万件),第一年年获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z(万元).

(1)请直接写出y与x之间,z与x之间的函数关系式:

______,______;

(2)计算销售单价为200元时的第一年年获利,请问公司此时亏损还是盈利?并说明为了得到同样的年获利,销售单价还可以定为多少元?

(3)公司计划:在第一年按年获利最大时确定的销售单价进行销售;第二年后总获利要不低于1840万元.请说明,第二年的销售单价x应确定在什么范围内.

答案

由题意得:

(1)y=24-

x-120
10
,即:y=-
1
10
x+36

z=-

1
10
x2+42x-4660;

(2)当x取200时,z=-

1
10
×2002+42×200-4660=-260

此时公司亏损了260万元

因为此抛物线的对称轴为x=210

所以当x=220时,也能获得同样的年获利

(3)z=-

1
10
(x-210)2-250

∴当x=210时,z取最大值,最大值为-250,

也就是说:当销售单价定为210元时,年获利最大,并且到第一年年底公司还差250万元就可收回全部投资

第二年的销售单价定为x元,

则年获利为z=(-

1
10
x+36)(x-60)

=-

1
10
x2+42x-2160=-
1
10
(x-210)2+2250,

当z年获利为1840万时,

即z=1840+250=2090,

所以令2090=-

1
10
(x-210)2+2250,

解得x1=170,x2=250,

170≤x≤250时,z≥2090,

∴第二年的销售单价应确定在不低于170元且不高于250元的范围内.

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