“百诚”公司投资750万元,成功研制出一种市场需求量较大的产品,并再投入资金1750万元进行相关生产设备的购买.已知生产过程中,每件产品的成本为60元.在销售过程中发现,当销售单价定为120元时,年销售量为24万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)(x>120),年销售量为y(万件),第一年年获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z(万元).
(1)请直接写出y与x之间,z与x之间的函数关系式:
______,______;
(2)计算销售单价为200元时的第一年年获利,请问公司此时亏损还是盈利?并说明为了得到同样的年获利,销售单价还可以定为多少元?
(3)公司计划:在第一年按年获利最大时确定的销售单价进行销售;第二年后总获利要不低于1840万元.请说明,第二年的销售单价x应确定在什么范围内.
由题意得:
(1)y=24-
,即:y=-x-120 10
x+36,1 10
z=-
x2+42x-4660;1 10
(2)当x取200时,z=-
×2002+42×200-4660=-2601 10
此时公司亏损了260万元
因为此抛物线的对称轴为x=210
所以当x=220时,也能获得同样的年获利
(3)z=-
(x-210)2-2501 10
∴当x=210时,z取最大值,最大值为-250,
也就是说:当销售单价定为210元时,年获利最大,并且到第一年年底公司还差250万元就可收回全部投资
第二年的销售单价定为x元,
则年获利为z=(-
x+36)(x-60)1 10
=-
x2+42x-2160=-1 10
(x-210)2+2250,1 10
当z年获利为1840万时,
即z=1840+250=2090,
所以令2090=-
(x-210)2+2250,1 10
解得x1=170,x2=250,
当170≤x≤250时,z≥2090,
∴第二年的销售单价应确定在不低于170元且不高于250元的范围内.