问题
解答题
三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分
别为S1、S2、S3，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
答案
见解析
设PA=a，PB=b，PC=c，则S1=
ab ，S2=bc，S3=ca，
作PD⊥BC于D，连AD，
易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；
S△ABC=BC×AD，
在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2=
，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（BC×AD）2=
（a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD2=
，AD2=
∴cos2α=
；
同理cos2β=
；
cos2γ=
；
∴cos2α+cos2β+cos2γ="1"