问题
解答题
设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1cosx-an+2sinx满足f′（
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=2（an+
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答案
（I）∵f′（x）=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx，f′(
)=0．π 2
∴2an+1=an+an+2对任意n∈N*，都成立．
∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴an=a1+（n-1）d=2+n-1=n+1．
（II）由（I）可得，bn=2(n+1+
)=2（n+1）+1 2n+1
，1 2n
∴Sn=2[2+3+…+（n+1）]+
+1 2
+…+1 22 1 2n
=2×
+n(2+n+1) 2
[1-(1 2
)n]1 2 1- 1 2
=n2+3n+1-
．1 2n