（1）证明：x²+kx+

1

2

k-

7

2

=0，

△₁=b²-4ac=k²-4（

1

2

k-

7

2

）

=k²-2k+14

=k²-2k+1+13

=（k-1）²+13＞0，

∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）∵二次函数y=x²+kx+

1

2

k-

7

2

的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，

∴当x=1时，函数值y＜0，

即1+k+

1

2

k-

7

2

＜0，

解得：k＜

5

3

，

∵关于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，

∴k≠0且△₂=b²-4ac=（2k+3）²-4k²=4k²+12k+9-4k²=12k+9＞0，

∴k＞-

3

4

且k≠0，

∴-

3

4

＜k＜

5

3

且k≠0，

∴k=1；

（3）由（2）可知：k=1，

∴x²+2（a+1）x+2a+1=0，

解得x₁=-1，x₂=-2a-1，

根据题意，0＜-2a-1＜3，

∴-2＜a＜-

1

2

，

∴a的整数值为-1．