（1）把B、C点的坐标代入一次函数y=kx+m，

解得：k=1，m=1

∵B、C在E₁上，将B、C坐标代入其二次函数，

∴3-2

2

=2a（2-2

2

）²+2b（2-2

2

）+c

3+2

2

=2a（2+2

2

）²+2b（2+2

2

）+c

经化简得：8a+2b=1①

将E₁，E₂的函数是化简

y₁=

2a(x+ b 2a )2+c-b2

2a

所以y₁最小值=

c-b2

2a

y₂=

a(x+ b 2a )2+c-1-b2

4a

所以y₂最小值：c-1-

b2

4a

根据两个二次函数的最小差值为1

|c-

b2

2a

-（c-1-

b2

4a

）|=1

化简得到|1-

2b2

1-2b

|=1

再化简绝对值得到b=0（其中能够得出b²+2b-1=0，但是，要求b为整数，所以，此式舍去）

再根据上面我写的①式，得到a=

1

8

根据B、C坐标可知x_b和x_c之间的距离为4

2

应有

|x_b-x_c|=4根号2即（x_b-x_c）²=32②

因为y=x+m（之前得出了k=1），

y=2ax²+2bx+c的交点位B、C

有x+m=2ax²+2bx+c整理得2ax²+（2b-1）x+c-m=0

则x_b+x_c=4   ③

x_b×x_c=4（c-m）④

②③④整理化简得到m-c=1⑤

A，D是E₂与l的交点，所以，x+m=ax²+bx+c-1

再根据④式，化简整理得到ax²+（b-1）x-2=0

所以，x_a+x_d=（1-b）/a，x_a×x_d=-

2

a

所以，（x_a-x_d）²=(

1-b

a

)2-4(-

2

a

)

所以，得到|x_a-x_d|=8

2

，

即|AD|=8

2

；

（2）存在，

当m=k＞0时，

1

4

x2-

3

4

mx+k=x+m，

得x₁=0，x₂=3m+4＞0．

∴点A（0，m）．

显然，经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P₁（3m，m）．

又∵由题意，点P₂只能有一解，

再结合抛物线的对称性，可知点P₂只能重合于点D．

设DE与AP₁交于点G，

由DG=AG，即m-（k-

9

16

m2）=

3

2

m，

得m=

8

3

．

∴点P₁（8，

8

3

）、点P₂（4，-

4

3

）．

故存在点P．