问题
解答题
已知函数f（x）=x3-ax2-x+a，其中a为实数．
（1）求导数f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．
答案
（1）f′（x）=3x2-2ax-1（3分）
（2）f′（-1）=3+2a-1=0∴a=-1∴f（x）=x3+x2-x-1∴f′（x）=3x2+2x-1
由∴f′（x）=0可得x=
或x=-11 3
又∵f(
)=-1 3
，f(-2)=-3，f(3)=32，f(-1)=032 27
∴f（x）在[-2，3]上的最小值为-3．（9分）
（3）∵f′（x）=3x2-2ax-1图象开口向上，且恒过点（0，-1）
由条件可得：∴f′（-2）≥0，11+4a≥0即：a≥-
由f′(3)≥0得a≤11 4 13 3
∴a的取值范围是[-
，11 4
]..（14分）13 3