（1）f（x）=sinx+cosx

∴f′（x）=cosx-sinx，

∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）

=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx

=1+sin2x+cos2x

=1+

2

sin(2x+

π

4

)

∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

⇒x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，

F(x)max=1+

2

最小正周期为T=

2π

2

=π

（2）∵f（x）=2f′（x）⇒sinx+cosx=2cosx-2sinx

∴cosx=3sinx⇒tanx=

1

3

∴

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

3sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

3tan2x+1

1-tanx

=

2

2 3

=2．