问题
解答题
| 已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0． （1）求
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），求证：直线AB的斜率k∈(-
|
答案
（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax2+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c2＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴
-(c a
)2＞0，c a
所以0＜
＜1．c a
（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2=-
，x1x2=2b 3a
，c 3a
∴k=
=f(x2)-f(x1) x2-x1 (ax23+bx22+cx2)-(ax13+bx12+cx1) x2-x1
=(x2-x1)[a(x22+x2x1+x12)+b(x2+x1)+c] x2-x1
=a（x22+x2x1+x12）+b（x2+x1）+c
=a[(x2+x1)2-x2x1]+b（x2+x1）+c
=a（
-4b2 9a2
）+b（-c 3a
）+c2b 3a
=a[（
-4b2 9a2
）+c 3a
（-b a
）+2b 3a
]c a
=
（-2a 9
+b2 a2
），3c a
令t=
，由b=-（a+c）得，c a
=-1-t，t∈（0，1），b a
则k=
[-（1+t）2+3t]=2a 9
（-t2+t-1），2a 9
∵a＞0，-t2+t-1∈（-1，-
]，∴k∈（-3 4
，-2a 9
]．a 6