设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}

问题解答题

设函数f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}

（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；

（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

答案

（Ⅰ）因为方程ax-（1+a²）x²=0（a＞0）有两个实根x₁=0，x2=

1+a2

＞0，

故f（x）＞0的解集为{x|x₁＜x＜x₂}，

因此区间I=（0，

1+a2

），区间长度为

1+a2

；

（Ⅱ）设d（a）=

1+a2

，则d′（a）=

1-a2

(1+a2)2

，

令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，

故当1-k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，

因此当1-k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，

而

d(1-k)

d(1+k)

1-k

1+(1-k)2

1+k

1+(1+k)2

2-k2-k3

2-k2+k3

＜1，故d（1-k）＜d（1+k），

因此当a=1-k时，d（a）在区间[1-k，1+k]上取得最小值

1-k

2-2k+k2

，即I长度的最小值为

1-k

2-2k+k2

．