问题
解答题
我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a=______；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是______
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．
答案
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴
，-
=1b 2a
=1-b2 4a
解得，
，a=-1 b=2
即当顶点坐标为（1，1）时，a=-1；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，
，-
=mb 2a
=m-b2 4a
解得，a=- 1 m b=2
则a与m之间的关系式是：a=-
或am+1=0．1 m
故答案是：-1；a=-
或am+1=0．1 m
（2）∵a≠0，
∴y=ax2+bx=a（x+
）2-b 2a
，b2 4a
∴顶点坐标是（-
，-b 2a
）．b2 4a
又∵该顶点在直线y=kx（k≠0）上，
∴k（-
）=-b 2a
．b2 4a
∵b≠0，
∴b=2k；
（3）∵顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，
∴可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．
由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=-
x2+2x．1 t
∵四边形AnBnCnDn是正方形，
∴点Dn的坐标是（2n，n），
∴-
（2n）2+2•2n=n，1 t
∴4n=3t．
∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴满足条件的正方形边长是3，6或9．
