利用导数求和：（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*）

问题解答题

利用导数求和：

（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；

（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

答案

（1）当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=

（n+1），

当x≠1时，∵x+x²+x³++xⁿ=

x-xn+1

1-x

，

两边对x求导，得S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=（

x-xn+1

1-x

）′=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．

（2）∵（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ，

两边对x求导，得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1．

令x=1，得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，

即S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³++nC_nⁿ=n•2^n-1．