（Ⅰ）证明：f'（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx．

由f'（x）=0，得-2e^-xsinx=0．

解出x=nπ，n为整数，从而x_n=nπ，n=1，2，3，f（x_n）=（-1）ⁿe^-nπ.

f(xn+1)

f(xn)

=-e-π．

所以数列{f{x_n}}是公比q=-e^-π的等比数列，且首项f（x₁）=q．

（Ⅱ）S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）++x_nf（x_n）=πq（1+2q++nq^n-1），

qS_n=πq（q+2q²++nqⁿ），

S_n-qS_n=πq（1+2q²++q^n-1-nqⁿ）

=πq(

1-qn

1-q

-nqn)，

从而

S1+S2++Sn

n

=

πq

(1-q)2

-

πq2

n(1-q)2

(1+q++qn-1)-

πq2

n(1-q)

(1+2q++nqn-1)

=

πq

(1-q)2

-

πq2

n(1-q)2

1-qn

1-q

-

πq2

n(1-q)2

(

1-qn

1-q

-nqn)

=

πq

(1-q)2

-

2πq2

n(1-q)3

(1-qn)+

πqn+2

(1-q)2

．

因为|q|=e-π＜1.

lim

n→∞

qn=0，

所以

lim

n→∞

S1+S2++Sn

n

=

πq

(1-q)2

=

-πeπ

(eπ+1)2

．