问题 解答题
已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}.
(Ⅰ)证明数列{f{xn}}为等比数列;
(Ⅱ)记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和,求
lim
n→∞
S1+S2+…+Sn
n
答案

(Ⅰ)证明:f'(x)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)=-2e-xsinx.

由f'(x)=0,得-2e-xsinx=0.

解出x=nπ,n为整数,从而xn=nπ,n=1,2,3,f(xn)=(-1)ne-nπ.

f(xn+1)
f(xn)
=-e

所以数列{f{xn}}是公比q=-e的等比数列,且首项f(x1)=q.

(Ⅱ)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)++xnf(xn)=πq(1+2q++nqn-1),

qSn=πq(q+2q2++nqn),

Sn-qSn=πq(1+2q2++qn-1-nqn

=πq(

1-qn
1-q
-nqn),

从而

S1+S2++Sn
n

=

πq
(1-q)2
-
πq2
n(1-q)2
(1+q++qn-1)-
πq2
n(1-q)
(1+2q++nqn-1)

=

πq
(1-q)2
-
πq2
n(1-q)2
1-qn
1-q
-
πq2
n(1-q)2
(
1-qn
1-q
-nqn)

=

πq
(1-q)2
-
q2
n(1-q)3
(1-qn)+
πqn+2
(1-q)2

因为|q|=e<1.

lim
n→∞
qn=0,

所以

lim
n→∞
S1+S2++Sn
n
=
πq
(1-q)2
=
eπ
(eπ+1)2

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