问题 解答题

四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.

(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积;

(2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

答案

(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析

(1)正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,

∴PA⊥DA,

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角,

∠PAB=60°.                

而PB是四棱锥P—ABCD的高,PB=AB·tg60°=a,

.                                                                                       

(2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP,垂足为E,连结EC,则△ADE≌△CDE,

是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

设AC与DB相交于点O,连结EO,则EO⊥AC,

                                                                     

故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

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