（1）设正三棱锥的底面中心为H，

由题意知PH=1，取BC中点E，

连接HE、PE，

则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，

S_全=3×

1

2

×2

6

×

3

+

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=9

2

+6

3

．

（2）过O作OG⊥PE于点G，

则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，

∴

1-R

3

=

R

2

，

∴R=

6

-2．