（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，

∵f′(x)=1-

t

x2

，

∴切线PM的方程为：y-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x12

)(x-x1)，

又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x12

)(1-x1)，

即x₁²+2tx₁-t=0，（1）

同理，由切线PN也过点P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）

由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t.

（*）|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

，

把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，

因此，函数g（t）的表达式为g(t)=

20t2+20t

(t＞0)．

（Ⅱ）当点M、N与A共线时，k_MA=k_NA，

∴

x1+ t x1 -1

x1-0

=

x2+ t x2 -1

x2-0

，即

x12+t-x1

x12

=

x22+t-x2

x22

，

化简，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0

∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）

把（*）式代入（3），解得t=

1

2

．

∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=

1

2

．

（Ⅲ）知g（t）在区间[2 ， n+

64

n

]上为增函数，

∴g(2)≤g(ai)≤g(n+

64

n

)（i=1，2，，m+1），

则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m•g(n+

64

n

)．

依题意，不等式m•g(2)＜g(n+

64

n

)对一切的正整数n恒成立，

m

20•22+20•2

＜

20(n+ 64 n )2+20(n+ 64 n )

，

即m＜

1 6 [(n+ 64 n )2+(n+ 64 n )]

对一切的正整数n恒成立．

∵n+

64

n

≥16，∴

1 6 [(n+ 64 n )2+(n+ 64 n )]

≥

1 6 [162+16]

=

136 3

，

∴m＜

136 3

．由于m为正整数，∴m≤6．

又当m=6时，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，对所有的n满足条件．

因此，m的最大值为6．