∵f(x)=

1

3

x3-x2+ax+m，∴f^′（x）=x²-2x+a．

∵存在实数t，使f'（t）＜0，a＞0，∴t²-2t+a＜0的解集不是空集，

∴△=4-4a＞0，解得a＜1，因此0＜a＜1．

令t²-2t+a=0，解得t=1±

1-a

，

∴t²-2t+a＜0的解集是{x|0＜1-

1-a

＜t＜1+

1-a

＜2}．

∵f^′（t+2）=（t+2）²-2（t+2）+a=t（t+2）+a，∴f^′（t+2）＞0；

∵f′(

2t+1

3

)=(

2t+1

3

)2-2×

2t+1

3

+a=

4t2-8t-5

9

+a，

∴f′(t)-f′(

2t+1

3

)=t2-2t-

4t2-8t-5

9

=

5(t-1)2

9

≥0，

∴f′(

2t+1

3

)≤f′(t)＜0，

∴f′(t+2)•f′(

2t+1

3

)＜0，

故选B．