（1）若a=1时，f(x)=

1

2

x2+2x，  g(x)=3lnx+b

分别求导数：f′(x)=x+2，  g′(x)=

3

x

…（2分）

∵在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．

∴f′(x0)=x0+2，  g′(x0)=

3

x0

，且x0+2=

3

x0

，解得：x₀=-3或1--（4分）

∵定义在（0，+∞）上，

∴x₀=-3舍去，将x₀=1代入f(x)=

1

2

x2+2x得y0=

5

2

…（6分）

∴公共点P(1，

5

2

)，…（7分）

代入g（x）=3lnx+b∴b=

5

2

…（8分）

（2）分别求导数：f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

…（10分）

在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．

∴x0+2a=

3a2

x0

，即x₀=-3a或a，其中x₀=-3a舍去…（12分）

∴x₀=a而f（x₀）=g（x₀）得到：b=

5

2

a2-3a2lna（ a＞0）…（13分）

令b=h(t)=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0）

∴h'（t）=2t-6tlnt

令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得t=e

1

3

…（14分）

当h'（t）＞0时，t∈(0，e

1

3

)

当h'（t）＜0时，t∈(e

1

3

，+∞)…（15分）

∴当t=e

1

3

时h（t）取到最大值，即bmax=

5

2

e

2

3

-3e

2

3

lne

1

3

=

3

2

e

2

3

----（16分）