已知函数f(x)=ex-
（1）求f′（x）的最小值； （2）证明：对任意的x1，x2∈[0，+∞）和实数λ1≥0，λ2≥0且λ1+λ2=1，总有f（λ1x1+λ2x2）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）； （3）若x1，x2，x3满足：x1≥0，x2≥0，x3≥0且x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值． |
（1）f′（x）=ex-x，f''（x）=ex-1
当x∈（-∞，0）时，f''（x）=ex-1＜0，即f′（x）在区间（-∞，0）上为减函数；
当x∈[0，+∞）时，f''（x）=ex-1≥0，即f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数；
于是f′（x）的最小值为f′（0）=1．
（2）证明：不妨设x1≤x2，构造函数K（x）=f（λ1x+λ2x2）-λ1f（x）-λ2f（x2）（x∈[0，x2]），
则有K（x2）=f（λ1x2+λ2x2）-λ1f（x2）-λ2f（x2）=0，
则K′(x)=λ1f′(λ1x+λ2x2)-λ1f′(x)=λ1(f′(λ1x+λ2x2)-f′(x))，
而λ1x+λ2x2-x=（λ1-1）x+λ2x2=λ2（x2-x）≥0，所以λ1x+λ2x2≥x，
由（1）知f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数，
所以f′(λ1x+λ2x2)-f′(x)≥0，即K′（x）≥0，
所以K（x）在[0，x2]上单调递增，
所以K（x）≤K（x2）=0，即f（λ1x1+λ2x2）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）．
（3）先证对任意的x1，x2，x3∈[0，+∞）和实数λ1≥0，λ2≥0，λ3≥0，且λ1+λ2+λ3=1，
总有f（λ1x1+λ2x2+λ3x3）≤λ1f（x1）+λ2f（x2）+λ3f（x3），f(λ1x1+λ2x2+λ3x3)=f((λ1+
)(λ 2
x1+λ1 λ1+λ2
x2)+λ3x3)≤(λ1+λ2)f(λ2 λ1+λ2
x1+λ1 λ1+λ2
x2)+λ3f(x3)≤(λ1+λ2)•(λ2 λ1+λ2
f(x1)+λ1 λ1+λ2
f(x2))+λ3f(x3)λ2 λ1+λ2
=λ1f（x1）+λ2f（x2）+λ3f（x3），
令λ1=λ2=λ3=
，有f(1 3
)≤x1+x2+x3 3
(f(x1)+f(x2)+f(x3))，1 3
当x1≥0，x2≥0，x3≥0且x1+x2+x3=3时，有f(x1)+f(x2)+f(x3)≥3f(
)=3f(1)=3e-x1+x2+x3 3
．3 2
所以f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为3e-
．3 2