问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，
且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）．
答案
（Ⅰ）由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，
两式相减，得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1，
即an+1=2an+1，从而an+1+1=2（an+1）．
当n=1时，S2=2S1+1+5，∴a1+a2=2a1+6又a1=5，∴a2=11，
从而a2+1=2（a1+1）．故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*．
又∵a1=5，，∴an+1≠0，从而
=2．an+1+1 an+1
即{an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3×2n-1．
∵f（x）=a1x+a2x2+…+anxn∴f'（x）=a1+2a2x+…+nanxn-1．
从而f'（1）=a1+2a2+…+nan=（3×2-1）+2（3×22-1）+…+n（3×2n-1）
=3（2+2×22+…+n×2n）-（1+2+…+n）
=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-n(n+1) 2
=3[n×2n+1-2n+1+2]-n(n+1) 2
=3(n-1)•2n+1-
+6．n(n+1) 2