问题
解答题
已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．
（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2；
（2）求证：x1＜x0＜x2；
（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x1、x2．
答案
（1）由点M（x0，y0）位于x轴的下方，
有y0＜0 y0=x02+px0+q=(x0+
)2-p 2 p2-4q 4
得△=p2-4q=4(x0+
)2-4y0≥-4y0＞0．p 2
∴方程x2+px+q=0有两个实根，设为x1、x2（x1＜x2）．
于是抛物线与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0）．（4分）
（2）由（1）得
①x1+x2=-p x1x2=q
代入x02+px0+q=y0＜0，得不等式x02-（x1+x2）x0+x1x2＜0
即（x0-x1）（x0-x2）＜0
故 x1＜x0＜x2．（8分）
（3）由M在抛物线上，而x1，x2满足①得
y0=x02-（x1+x2）x0+x1x2．即-1997=（x1-1）（x2-1）．
∵1997为整数，
∴（x1-1）、（x2-1）均为整数，且由x1＜x2，知x1-1＜x2-1，
得
或x1-1=-1 x2-1=1997
．x1-1=-1997 x2-1=1
∴
或x1=0 x2=1998
．（14分）x1=-1996 x2=2