问题
解答题
| 先阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b范围内，对于任意x1，x2，当a＜x1＜x2＜b时，总是有y1＜y2（yn是与xn对应的函数值），那么就说函数y在a＜x＜b范围内是增函数． 例如：函数y=x2在正实数范围内是增函数． 证明：在正实数范围内任取x1，x2，若x1＜x2， 则y1-y2=x12-x22=（ x1-x2）（ x1+x2） 因为x1＞0，x2＞0，x1＜x2 所以x1+x2＞0，x1-x2＜0，（ x1-x2）（ x1+x2）＜0 即y1-y2＜0，亦即y1＜y2，也就是当x1＜x2时，y1＜y2． 所以函数y=x2在正实数范围内是增函数． 问题： （1）下列函数中．①y=-2x（x为全体实数）；②y=-
（2）对于函数y=x2-2x+1，当自变量x______时，函数值y随x的增大而增大． （3）说明函数y=-x2+4x，当x＜2时是增函数． |
答案
（1）①y=-2x，
∵k=-2＜0，
∴x在全体实数范围内y随x的增大而减小；
②y=-
（x＞0），2 x
∵k=-2＜0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大；
③y=
（x＞0），1 x
∵k=1＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
综上所述，增函数只有②；
（2）二次函数y=x2-2x+1的对称轴为x=-
=-b 2a
=1，-2 2×1
∵二次函数开口向上，
∴自变量x＞1时，函数值y随x的增大而增大；
（3）证明：设x1＜x2＜2，
则y1-y2=（-x12+4x1）-（-x22+4x2），
=-x12+x22+4x1-4x2，
=-（x1-x2）（x1+x2）+4（x1-x2），
=（x1-x2）（4-x1-x2），
∵x1＜x2＜2，
∴-x1＞-x2＞-2，x1-x2＜0，
∴4-x1-x2＞0，
∴（x1-x2）（4-x1-x2）＜0，
即y1-y2＜0，
亦即y1＜y2，
也就是当x1＜x2＜2时，y1＜y2，
所以函数y=x2在正实数范围内是增函数．