问题 解答题

(本小题满分14分)如图,三棱锥ABPC中,APPCACBCMAB中点,DPB中点,且△PMB为正三角形。

(Ⅰ)求证:DM//平面APC

(Ⅱ)求证:BC⊥平面APC

(Ⅲ)若BC=4,AB=20,求三棱锥DBCM的体积.

答案

(Ⅰ)略

(Ⅱ)略

(Ⅲ)VD-BCM=VM-BCD=

解:(Ⅰ)∵M为AB中点,D为PB中点,

∴MD//AP,  又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC ……………3分

(Ⅱ)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点。

∴MD⊥PB

又由(Ⅰ)∴知MD//AP, ∴AP⊥PB

又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC,

∴AP⊥BC,  又∵AC⊥BC

∴BC⊥平面APC,      ……………8分

(Ⅲ)∵AB=20

∴MB="10   " ∴PB=10

又BC=4,

又MD

∴VD-BCM=VM-BCD=………………12分

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