问题
解答题
已知:二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中a>b>0且a、b为实数.
(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);
(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;
(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求|x1-x2|的范围.
答案
(1)∵一次函数过原点,
∴设一次函数的解析式为y=kx;
∵一次函数过(1,-b),
∴y=-bx.(3分)
(2)∵y=ax2+bx-2过(1,0),即a+b=2,(4分)
∴b=2-a.
由
,得:(5分)y=-bx y=ax2+bx-2
ax2+bx-2=-bx,
∴ax2+(2-a)x-2=-(2-a)x,
∴ax2+2(2-a)x-2=0①;
∵△=4(2-a)2+8a=16-16a+4a2+8a=4(a2-2a+1)+12=4(a-1)2+12>0,
∴方程①有两个不相等的实数根,
∴方程组有两组不同的解,
∴两函数图象有两个不同的交点.(6分)
(3)∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解,
∴x1+x2=-
,∴x1+x2=-b a
,x1x2=2(a-2) a
;-2 a
∴|x1-x2|=
=(x1+x2)2-4x1x2
=4a2-8a+16 a2
;(
-1)2+34 a
(或由求根公式得出)(8分)
∵a>b>0,a+b=2,
∴2>a>1;
令函数y=(
-1)2+3,4 a
∵在1<a<2时,y随a增大而减小.
∴4<(
-1)2+3<12;(9分)4 a
∴2<
<2(
-1)2+34 a
,3
∴2<|x1-x2|<2
.(10分)3