问题 解答题

已知:二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中a>b>0且a、b为实数.

(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);

(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;

(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求|x1-x2|的范围.

答案

(1)∵一次函数过原点,

∴设一次函数的解析式为y=kx;

∵一次函数过(1,-b),

∴y=-bx.(3分)

(2)∵y=ax2+bx-2过(1,0),即a+b=2,(4分)

∴b=2-a.

y=-bx
y=ax2+bx-2
,得:(5分)

ax2+bx-2=-bx,

∴ax2+(2-a)x-2=-(2-a)x,

∴ax2+2(2-a)x-2=0①;

∵△=4(2-a)2+8a=16-16a+4a2+8a=4(a2-2a+1)+12=4(a-1)2+12>0,

∴方程①有两个不相等的实数根,

∴方程组有两组不同的解,

∴两函数图象有两个不同的交点.(6分)

(3)∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解,

∴x1+x2=-

b
a
,∴x1+x2=-
2(a-2)
a
x1x2=
-2
a

|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2
=
4a2-8a+16
a2
=
(
4
a
-1)
2
+3

(或由求根公式得出)(8分)

∵a>b>0,a+b=2,

∴2>a>1;

令函数y=(

4
a
-1)2+3,

∵在1<a<2时,y随a增大而减小.

4<(

4
a
-1)2+3<12;(9分)

2<

(
4
a
-1)
2
+3
<2
3

2<|x1-x2|<2

3
.(10分)

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