问题
解答题
已知：二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1-x2|的范围．
答案
（1）∵一次函数过原点，
∴设一次函数的解析式为y=kx；
∵一次函数过（1，-b），
∴y=-bx．（3分）
（2）∵y=ax2+bx-2过（1，0），即a+b=2，（4分）
∴b=2-a．
由
，得：（5分）y=-bx y=ax2+bx-2
ax2+bx-2=-bx，
∴ax2+（2-a）x-2=-（2-a）x，
∴ax2+2（2-a）x-2=0①；
∵△=4（2-a）2+8a=16-16a+4a2+8a=4（a2-2a+1）+12=4（a-1）2+12＞0，
∴方程①有两个不相等的实数根，
∴方程组有两组不同的解，
∴两函数图象有两个不同的交点．（6分）
（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解，
∴x1+x2=-
，∴x1+x2=-b a
，x1x2=2(a-2) a
；-2 a
∴|x1-x2|=
=(x1+x2)2-4x1x2
=4a2-8a+16 a2
；(
-1)2+34 a
（或由求根公式得出）（8分）
∵a＞b＞0，a+b=2，
∴2＞a＞1；
令函数y=(
-1)2+3，4 a
∵在1＜a＜2时，y随a增大而减小．
∴4＜(
-1)2+3＜12；（9分）4 a
∴2＜
＜2(
-1)2+34 a
，3
∴2＜|x1-x2|＜2
．（10分）3