问题
解答题
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1
（I）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：（x-1）f（x）≥0．
答案
（I）f′(x)=
+lnx-1=x+1 x
+lnx1 x
所以f′（1）=1，所以切线方程y=x-1
（Ⅱ）xf′（x）≤x2+ax+1⇔1+xlnx≤x2+ax+1，
即：xlnx≤x2+ax，x＞0，则有lnx≤x+a，
即要使a≥lnx-x成立．
令g（x）=lnx-x，那么g′(X)=
-1=0⇒x=1，1 x
可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．
故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1，
那么要使得a≥lnx-x 成立，则有a≥-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0
当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0，
当x≥1时，f（x）=xlnx+lnx-x+1
=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+
-1）1 x
=lnx-x（ln
-1 x
+1）1 x
≥0．
∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0
综上所述，（x-1）f（x）≥0