（1）∵直线y=2x+1-m与抛物线y=x²-4x+k的一个交点坐标为（1，-1）．

∴将点（1，-1）分别代入解析式得：

-1=2+1-m，

∴m=4，

-1=1-4+k，

∴k=2，

∴直线与抛物线的函数解析式分别为：y=2x-3，y=x²-4x+2；

（2）∵在点（1，0）、（4，0）之间有一个动点F（a，0），过点F作y轴的平行线，交直线于点C，交抛物线于点D，

∴C（a，2a-3），D（a，a²-4a+2），

CD=2a-3-（a²-4a+2）=-a²+6a-5；

（3）存在B（2，9），A（2，0），

∵只要存在BC∥AD，AB∥CD可得，

BC

=（a-2，2a-12），

AD

=（a-2，4a-2-a²），

只要2a-12=4a-2-a²即可，此时BC∥AD

∴a=±

11

+1，∵a＞0，

∴a=

11

+1，

∴B（2，9），A（2，0），

∴点C横坐标为

11

+1，

高就是A点横坐标与C点横坐标的差，即高为

11

-1，

代入即得平行四边形面积为：9×(

11

-1)=9

11

-9．