问题
解答题
已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•ex（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．
答案
（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴
，即3+2b+c=3 -2-b=- 1 2
，b=- 3 2 c=3
∴f(x)=x3-
x2+3x．3 2
（2）若存在x0∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•ex=3x2-3x+3，
∴a=
，3x2-3x+3 ex
令h(x)=
，3x2-3x+3 ex
∴h′(x)=6x-3-3x2+3x-3 ex
=-3x2+9x-6 ex
=-
，3(x2-3x+2) ex
令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论：
| x | （0，1） | 1 | （1，2） | 2 |
| h′（x） | - | 0 | + | 0 |
| h（x） | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 |
| 3 |
| e |
| 9 |
| e2 |
且当x→0时，h（x）→3＞
，9 e2
∴a的取值范围是[
，3)．3 e
