问题
填空题
已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为______．
答案
∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=
时等号成立2 3
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=
时，a2+4b2+9c2的最小值为122 3
故答案为：12