①中，y′=-sinx，|-sinx|=|sinx||≤1恒成立，所以y=cosx是任何闭区间上的平缓函数，故①正确；

②中，y′=2x+

1

x

，当x=1时，|y′|=3＞1，不满足平缓函数的定义，故②错误；

③中，f′（x）=x²-2mx-3m²，

因为f（x）是[0，

1

2

]上的平缓函数，所以|x²-2mx-3m²|≤1恒成立，即-1≤x²-2mx-3m²≤1恒成立，

亦即

x2-2mx-3m2+1≥0① x2-2mx-3m2-1≤0②

在[0，

1

2

]上恒成立，

对①式，

当m＜0时，x²-2mx-3m²+1在[0，

1

2

]上单调递增，最小值-3m²+1≥0，解得-

3

3

≤m≤

3

3

，

所以-

3

3

≤m＜0；

当0≤m≤

1

2

时，x²-2mx-3m²+1的最小值-4m²+1≥0，解得-

1

2

≤m≤

1

2

，

所以0≤m≤

1

2

；

当m＞

1

2

时，x²-2mx-3m²+1的最小值

1

4

-m-3m²+1≥0，解得-

5

6

≤m≤

1

2

，

所以此时m∈∅；

故对①式恒成立得，-

3

3

≤m≤

1

2

；

对②式，结合图象，

只需当x=0，

1

2

时，x²-2mx-3m²-1≤0，即

-3m2-1≤0 1 4 -m-3m2-1≤0

，解得m∈R，

综上，实数m的取值范围是[-

3

3

，

1

2

]，故③正确；

④中，由于y=f（x）是[a，b]上的平缓函数，所以|f′（x）|≤1恒成立，

则存在点c∈（a，b），使得f′(c)=

f(a)-f(b)

a-b

，则|

f(a)-f(b)

a-b

|≤1，

所以|f（a）-f（b）|≤|a-b|，故④正确．