（1）抛物线y=

1

2

x²-

3

2

mx-2m交x轴于A（a，0）和B（b，0），

所以a+b=3m，a•b=-4m，

∵抛物线开口向上，与X轴有两个交点，

∴C点在Y轴下半轴上，所以点C（0，-2m），-2m＜0，所以m＞0，

AO+OB=|a-b|，OC=|-2m|=2m，

所以（AO+OB）²=（a-b）²=（a+b）-4ab=9m²+16m，

12OC+1=24m+1，

∴9m²+16m=24m+1，

9m²-8m-1=0，

m=1或m=-

1

9

＜0，舍去，

∴m=1，

即抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）易知：A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，-2），

连接AC，BC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，

∴AC²+BC²=AB²，

∴∠ACB=90°，

设C关于抛物线对称轴的对称点为C′，

那么C′坐标为（3，-2），

根据抛物线的对称性可知：如果连接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，

因此如果以AB为直径作圆，那么此圆必过C，C′，

根据圆周角定理可知：x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形，

如果设P点横坐标为x，那么必有当0＜x＜3时，∠APB为锐角，

当-1＜x＜0或3＜x＜4时，∠APB为钝角．