（Ⅰ）证明：

①当n=2时，a₂=2≥2，不等式成立．

②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2（k≥2），

那么a_k+1=（1+

1

k(k+1)

）a_k+

1

2k

≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．

根据（1）、（2）可知：a_k≥2对所有n≥2成立．

（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1）

两边取对数并利用已知不等式得lna_n+1≤ln（1+

1

n2+n

+

1

2n

）+lna_n≤lna_n+

1

n2+n

+

1

2n

故lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．

上式从1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

2

•

1- 1 2n

1- 1 2

=1-

1

n

+1-

1

2n

＜2

即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．